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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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4. Calcular los siguientes límites
g) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{\sqrt{2 x+6}-4}$

Respuesta

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Nuevamente, se podría salvar tranquilamente usando L'Hopital. Yo acá te muestro como hacerlo sin usar L'Hopital. En este caso, con esa raíz cuadrada ahí sospechamos que nos puede ayudar multiplicar y dividir por conjugado, vamos por ahí:

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2} - 25}{\sqrt{2x + 6} - 4} \cdot \frac{\sqrt{2x + 6} + 4}{\sqrt{2x + 6} + 4} $

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x^{2} - 25)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{(\sqrt{2x + 6})^2 - (4)^2} $

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x^2 - 25)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{2x + 6 - 16} = \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x^2 - 25)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{2x - 10}$

Estamos frente a un "cero sobre cero", ya estamos en el baile sin usar L'Hopital, factorizamos:

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x+5)(x-5)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{2(x-5)} $

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x + 5)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{2} $

Se nos fue la indeterminación, tomamos límite:

$ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{(x + 5)(\sqrt{2x + 6} + 4)}{2} = 40$

Ahora, esto no lo pide el ejercicio, esto lo voy a hacer yo para traerte paz y que si este límite hubiera aparecido en el parcial o en la vida, yo al menos jamás lo hubiera resuelto así. 

Esto hubiera escrito si estaríamos resolviendo este límite con L'Hopital:

$\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{\sqrt{2 x+6}-4} = \lim _{x \rightarrow 5} \frac{2x}{\frac{1}{\sqrt{2x+6}}} = \lim _{x \rightarrow 5} 2x \cdot \sqrt{2x+6} = 40 $

😱😱😱😳😳😳

Esto no es para que entiendas lo que hice jaja, es sólo para mostrarte que dentro de un par de días (cuando sepas derivar) vos también vas a haber resuelto este límite así en un renglón como yo hice recién. Llegamos al mismo resultado, pero fijate que un camino fue claramente más largo que el otro. Falta poquísimooo, te prometo!
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ExaComunidad
Benjamin
25 de abril 20:04
Fuaa, entonces estos ejercicios que nos gastamos la vida factorizando, es medio al pedo?? si total los vamos a hacer con el hospital
1 respuesta
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